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Was ist ein Euler-Diagramm?
Das Euler-Diagramm ist die Darstellung der Mengenlehre. Es veranschaulicht visuelle Zusammenhänge aus dem wirklichen Leben. Die meisten Menschen verwechseln es mit dem Venn-Diagramm, weil sie sich so ähnlich sind. Wie Venn-Diagramme verwenden auch Eulersche Diagramme Kreise, um die logische Interaktion zwischen Elementen zu veranschaulichen.
Obwohl beide Diagramme Teil der Mengenlehre sind, zeigt das Euler-Diagramm nur einen Teil der Beziehung. Diese Beziehung ist nur in praktischen Szenarien anwendbar. Das Venn-Diagramm ist jedoch bei allen möglichen praktischen und theoretischen Interaktionen zwischen Mengen anwendbar.
Nehmen wir zum Beispiel zwei Kategorien: Eine Obermenge von Säugetieren und eine Untermenge von Vögeln. In einem Venn-Diagramm wird die Schnittmenge zwischen den beiden Mengen angezeigt, auch wenn der schattierte Bereich leer ist. Im Gegensatz dazu wird das Euler-Diagramm nur zwei getrennte Kreise für Säugetiere und Vögel haben. Das liegt daran, dass sie sich nicht kreuzen.
Einfache Venn-Diagramme ermöglichen die Visualisierung der Mengenlehre und eignen sich daher gut für den Unterricht. Euler-Diagramme sind jedoch flexibel und haben zusätzliche Strukturelemente wie Punkte, Graphen und Beschriftungen. Daher sind Euler-Diagramme am besten dafür bekannt, Hierarchien darzustellen, Entscheidungen zu treffen und Perspektiven zu analysieren.
Geschichte des Euler-Diagramms
Eulersche Kreise wurden erstmals von dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler im 18. Jahrhundert eingeführt. Er verwendete diese Diagramme, um logische Beziehungen zwischen zwei Kategorien darzustellen. Daraufhin wurden die Venn-Diagramme im 19. Jahrhundert bekannt.
In den 1960er Jahren nutzten Pädagogen diese beiden Diagramme, um ein Verständnis für die Mengenlehre zu entwickeln. Später trugen John Venn, Peirce und Leibniz zur Entwicklung der Euler-Diagramme bei. Heutzutage können Sie sie auf komplexe Hierarchien im wirklichen Leben anwenden.
Ein typischer Eluerscher Kreis trennt Kategorien, die von einer Kurve oder einem Kreis umschlossen sind. Jede Kurve hat zwei Zonen, die auch als Regionen bezeichnet werden: Innen und außen. Der innere Bereich veranschaulicht die Elemente der Menge, während der äußere Bereich nicht Teil der Menge ist. Diese gesamte Anordnung, die die Schnittmenge von Mengen darstellt, wird als Eulersches Diagramm bezeichnet.
Im Gegensatz zum Venn-Diagramm werden nicht überlappende Mengen nicht durch schattierte Leerräume dargestellt. Stattdessen trennt es die beiden Kreise vollständig und stellt die disjunkten Mengen dar.
Beispiel für ein Euler-Diagramm
Nachdem wir nun das Konzept des Euler-Diagramms erklärt haben, wollen wir uns nun einige Beispiele für Euler-Diagramme ansehen.
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Dieses Euler-Diagramm lässt sich in einem Satz zusammenfassen: "Alle Straßenschilder sind stationäre Objekte; Autos sind nicht stationär."
Aus dieser Hierarchiestruktur zwischen den beiden Kategorien können wir die folgenden Annahmen ableiten.
- Alle Straßenschilder sind stationäre Objekte. Sie sehen es an der Untermenge der Straßenschilder, die sich in der Obermenge der stationären Objekte befindet. Es handelt sich um eine Visualisierung von Überschneidungen in Euler-Diagrammen.
- Autos sind keine stationären Objekte. Hier liegt die Autoteilmenge außerhalb der Obermenge, die stationäre Objekte enthält. Es ist ein Beispiel für nicht überlappende oder disjunkte Mengen ohne schattierte Leerräume.
- Verkehrsschilder sind keine Autos, d.h. diese beiden Kategorien sind nicht miteinander verbunden. Daher befinden sie sich in verschiedenen getrennten Kreisen.
Dieses Beispiel zeigt eine Beziehung zwischen stehenden Objekten und sich bewegenden Fahrzeugen auf der Straße. Es kann jedem, der vorhat, Auto zu fahren, helfen, den Verkehr und die Verkehrsregeln zu verstehen. Außerdem können Pädagogen dieses Beispiel verwenden, um die Klasse über das Straßenvokabular zu informieren.
Unterschied zwischen Euler-Diagramm und Venn-Diagramm
Euler- und Venn-Diagramme, die zur Mengenlehre gehören, verwenden unterschiedliche Ansichten, um logische Beziehungen zu definieren. Das Venn-Diagramm hat einen überlappenden leeren schattierten Bereich, während Euler-Diagramme keinen solchen Bereich haben, was sie flexibler und fortschrittlicher macht.
Venn-Diagramm vs. Euler-Diagramme
Obwohl ihre Formen ähnlich sind, sind beide völlig unterschiedlich. Hier sind einige der wichtigsten Unterschiede.
Überschneidungen
- Venn-Diagramm - verwendet einen schattierten gemeinsamen Bereich.
- Euler-Diagramm - verwendet überlappende und verschachtelte Formen; es darf keinen gemeinsamen Bereich haben, wenn es keine Überlappung gibt.
Vollständigkeit
- Venn-Diagramm - zeigt alle logischen Mengenbeziehungen (kann theoretisch sein).
- Euler-Diagramm - zeigt nur mögliche Beziehungen zwischen Mengen (die im wirklichen Leben existieren).
Komplexität
- Venn-Diagramme - sind schwierig zu lesen und zu verstehen, besonders wenn es mehr als drei Kategorien gibt.
- Euler-Diagramme - sind nachvollziehbar. Sie eignen sich daher für die Interpretation komplexer Klassenstrukturen und Interaktionen.
Ausdruck
- Venn-Diagramme - haben einige Mengenbeziehungen, einschließlich Vereinigung, Differenz und Schnittmenge.
- Euler-Diagramm - bietet eine Veranschaulichung von größeren Abhängigkeiten zwischen Mengen. Sie eignen sich daher hervorragend zur Darstellung komplizierter Hierarchien.
Beispiele für Euler-Diagramme und Venn-Diagramme
Nichts klärt die Verwirrung besser auf als ein Beispiel. Hier finden Sie Beispiele für Venn- und Euler-Diagramme, um die Verwirrung zu beseitigen:
Dieses Venn-Diagramm veranschaulicht die Beziehung zwischen Essen und Pflanzen. Es gibt eine Überschneidung einiger Elemente, was darauf hindeutet, dass beide zur Kategorie der essbaren Lebensmittel gehören. Es zeigt aber auch, dass nicht alle Pflanzen essbar sind.
Betrachten wir nun die gleiche Beziehung, aber in einer Eulerschen Anordnung. Eine Zusammenfassung dieses Beispiels würde lauten: "Alles Junkfood und einige Pflanzen sind essbare Lebensmittel."
Hier sind die folgenden Annahmen aus diesem Beispiel.
- "Alles Junk Food ist essbar". Das liegt daran, dass essbare Lebensmittel eine Obermenge sind und Junk Food eine Untermenge. Der Junkfood-Kreis befindet sich in essbaren Lebensmitteln, was eine starke Überschneidung zwischen den beiden Kategorien zeigt.
- "Einige Pflanzen sind essbar". Das liegt daran, dass eine Teilmenge, die aus Pflanzen besteht, sich teilweise mit essbaren Lebensmitteln überschneidet. Es deutet darauf hin, dass nur einige Pflanzen zum Essen geeignet sind.
- "Kein Junk Food ist eine Pflanze", denn sowohl Junk Food als auch Pflanzen haben separate Obermengen oder Kreise in dem Diagramm. Diese beiden Kategorien stellen in diesem Beispiel eine Disjunktion dar.
Wie man ein Euler-Diagramm erstellt
Trotz der großen Ähnlichkeit mit dem Venn-Diagramm, verwenden Euler-Diagramme eine andere Anordnung. Ihr Erstellungsprozess ist also ein wenig anders. Hier finden Sie eine Schritt-für-Schritt-Anleitung, wie Sie ein Euler-Diagramm von Grund auf erstellen.
Bevor Sie beginnen, ist es immer besser, die Daten auf Papier zu notieren. Lassen Sie uns den Prozess anhand des folgenden Beispiels nachvollziehen.
- Aussage 1: Alle Sänger sind coole Leute.
- Aussage 2: Einige ältere Menschen sind Sänger.
- Aussage 3: Manche ältere Menschen sind cool.
Nehmen Sie sich Zeit für diese Aussagen, denn sie werden den weiteren Zeichenprozess leiten. Das Fehlen einer dieser Anweisungen kann den gesamten Prozess der Diagrammerstellung stören.
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Schritt 1: Zeichnen Sie drei Kategorien
Gehen Sie zu einer Online-Leinwand oder nehmen Sie ein Blatt Papier und zeichnen Sie drei Kreise. Was auch immer Sie wählen, stellen Sie sicher, dass es löschbar ist, damit Sie bei jedem Schritt Formen hinzufügen und entfernen können. Beschriften Sie nun jeden Kreis mit der gewünschten Kategorie. Hier werden die Kreise Sänger, Leute und coole Leute sein. Überlappen Sie diese drei Kreise.
Schritt 2: Verschieben Sie die Kreise so, dass sie mit der ersten Aussage übereinstimmen.
Kehren Sie danach zum ersten Schritt zurück und überprüfen Sie die geschriebenen Daten. Lesen Sie die erste Aussage und verschieben Sie die entsprechenden Kreise. Hier lautet die erste Aussage, dass "alle Sänger coole Leute sind". Ändern Sie also den Kreis der coolen Leute in eine Obermenge und legen Sie eine Untermenge aus Sängern in den vorherigen Kreis.
Schritt 3: Verschieben Sie die Kreise so, dass sie mit der zweiten Aussage übereinstimmen.
Fahren Sie nun fort und lesen Sie die zweite Aussage: "Einige ältere Menschen sind Sänger". Verschieben Sie also die zweite Teilmenge mit den älteren Menschen und überlappen Sie sie mit der Teilmenge mit den Sängern.
Schritt 4: Verschieben Sie die Kreise so, dass sie mit der dritten Aussage übereinstimmen.
Kehren Sie schließlich zu der letzten Aussage zurück: "Manche ältere Menschen sind coole Leute." Das bedeutet, dass die Teilmenge, die die älteren Menschen enthält, in einer Obermenge mit Sängern enthalten sein muss. Überprüfen Sie also die Anordnung und passen Sie die Kreise an. Herzlichen Glückwunsch, Ihr Euler-Diagramm ist einsatzbereit.
Fazit
Eulersche Diagramme eignen sich hervorragend zur Visualisierung verschiedener Perspektiven und zur Darstellung komplexer Hierarchien. Diese Diagramme verwenden Kreise und geschlossene Kurven, um die Interaktionen zwischen den Mengen darzustellen.
Die unheimliche Ähnlichkeit von Euler- und Venn-Diagrammen verwirrt die meisten Menschen. Aber machen Sie sich keine Sorgen, wenn Sie einer von ihnen sind. Trotz ihrer Ähnlichkeit weisen Euler-Diagramme extravagante Strukturelemente und flexible Anordnungen auf. Aus diesem Grund sind sie für reale Situationen geeignet.
Alles, was Sie also tun müssen, ist, diese Unterschiede zu verfolgen. Lesen Sie diesen Leitfaden, um sie von Venn-Diagrammen zu unterscheiden und ihren Anwendungsbereich zu erkennen.
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